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最終更新：2025年1月24日

地形の特徴・地形の複雑度

地学といえば産総研。産総研の動画を見ながらも、目の前の「A列車で行こう9」というPCゲームの前に戻ってきて、いざ解析。

• サテライト
• 多変量データに変えよう
• 多変量解析をしてみよう
• ハイトマップを特異値分解してみよう
• 「探究型学習」と「工学」
• 参考文献

PCゲーム「A列車で行こう9」のゲーム画面では、プレーヤーが開発に取り組むゲーム内の空間（「マップ」）全体を俯瞰する「サテライト」と呼ばれる子画面が用意されている。標高によって色分けされ、建物や線路などが種類ごとに色分けされて示される。ゲーム中に表示させておくことによって、列車がどこを走っているという運行状況を一覧したり、クリックして目的の地点にすばやく移動することに使える。さらに、「サテライト」を上を北に固定する設定と、視点（※3DCGでいう「カメラ」）の向きにあわせて回転させる設定とを切り替えることができ、列車に乗車している気分で「マップ」を鑑賞できる「車窓モード」（※なぜか「車窓」とはいうが運転台からの前方のビュー）で「サテライト」を回転させれば、カーナビのような感覚が楽しめる。

「A列車で行こう9」の「サテライト」は、セーブ・ロードの画面ではゲームの進行状況を示すサムネイルの役割を持たされている。公式ガイドブック（全4冊）の「マップ攻略」でも「サテライト」の画像が掲載され、文字では「産業構成比」「都市情報」「資金」「交通施設」と「主な施設」が列挙されている。しかし、そのマップがどんな地形なのかを数量的に示すには至っていない。あくまで「サテライト」の画像（標高を色分けして示したもの）を見よということにされている。人の目で画像を見ているだけでは『データ』ではない。

• ⇒ 安易に使うな「画像の取り込み」：1024×1024ピクセルの256階調（グレースケール）画像をハイトマップとして読み込む機能がアップデートパッチ（Build 4431）で追加されている（そのような解像度でゲーム内の地形を表現していることがわかる）

「A列車で行こう9」というゲームの中ではなぜか「サテライト」という呼びかたではあるが、これは地形図である。建物や線路などがない状態では、マップ全域の土地の高低や起伏を正確かつ完全に読み取ることができる。ここでは、この「サテライト」の画像をキャプチャ（※Windowsの通常の操作である［Print Screen］キーを使用）して『データ』をつくってみよう。
※諸般の事情により、セーブ・ロードの画面に表示される256×256ピクセルの状態でキャプチャする。「建造物初期化」を実行しておく。こんなことをしなくても済む「ハイトマップのエクスポート」が追加されることに期待しておく。

▲スクリーンショットからトリミングして、このような256×256ピクセルのPNG画像を用意してほしい

サテライトのヒストグラム

1. 「40m四方」を「1ピクセル」で表現したハイトマップである
   ※「40m四方」の中に、標高を持つ点が「10m」間隔で9個あるうち、「40m四方」ごとに、その中で左上（？ あるいは絶対値の最大？）などの代表の1点だけを取って描画されているとみられる
2. 「高さ」の値は「-80m」から「230m」まである
   ※「サテライト」で描画されるとき「10m」単位に丸められている
3. 「0m」の地点を「平地」とする
   ※「20m」などの高さで平らな土地があっても、ここでいう「平地」には算入しない
4. 「平地の輪郭」（「砂浜」）は「平地(%)」に算入し、「水面(%)」には算入しない
   ※プレーヤーがゲーム内で建物を配置するときに、建物の一部が「0m」の地点にかかっていれば「水面」にもかかる位置で配置できることから、このように数えることとした
   ※便宜上、「-3m」という高さの値を持たせた

このままでは「サテライト」の画像と同じく、割合（面積）を見て何か言うことしかできない。地形の特徴をあまさず表現する「多変量データ」にしていこう。1つ1つの「変量」は、アンケートの設問のようなものと思ってもよい。「あなたはどんな人ですか」と聞かれても答えに窮すが、具体的な設問が9つあって順番に答えると「こんな人です」ということが浮かび上がるイメージだ。

ここでは「このマップはどんな地形ですか」ということが知りたいので、「サテライト」の画像を人の目で見たときに読み取ることができるさまざまなことがらを、地形データ（ハイトマップ）を使って表現していく。このデータには「平面の座標」と「標高」という、実質的に2種類の情報しか含まれていないので、この情報から言えることだけを言うことになる。

• 「標高」については、「平地」「水面」「山」に分けて扱うことで、詳しく見ていくことができる（ヒストグラム）
• 「平面の座標」という情報を使うと距離や位置関係を考慮でき、「重心」や「体積」を扱うことができる。「全周」だけを取り出すということもできる（幾何学）

▲色はこちらを参考にした

これらを組み合わせ、なるべく重複しないよう考えたのが、以下の9つの変量である。とりうる最大値で割る「正規化」をしておこう。

• V1：
  「「平地」の輪郭のピクセル数」／「「平地」のピクセル数」


• V2：
  「「-10m」以下のピクセル数」／65536


• V3：
  「「山」のピクセルの「高さ」の「平均値」「中央値」「最頻値」のいずれか大きいの」／230


• V4：
  「山の体積」／（256×256×230）


• V5：
  「全周（1020ピクセル）における「平地」のピクセル数」／1020


• V6：
  「全周（1020ピクセル）における「水面」のピクセル数」／1020


• V7：
  「「全「水面」の重心」の「マップの中心」からの距離」／（128×√2）


• V8：
  「「全「山」の重心」の「マップの中心」からの距離」／（128×√2）


• V9：
  「「全「水面」の重心」と「全「山」の重心」の距離」／（256×√2）

※すべて文字で書いていることをお許しいただきたい。「／」は割り算の記号である。分数のように見て、「／」の左側を分子、右側を分母と思ってもらいたい。

【注意】このゲームでの「空間」は現実とは異なり、“地球の丸み”がない。現実の地図（地理院地図）やGISとの間でのデータ交換などは行なわせないことを強く推奨する。ここは数学らしく取り組むことに徹し、このゲームでの「空間」の（数学上の）表現に沿って、いわば『このゲーム限りのGIS』を自作するような取り組みをさせたい。その上で、現実の地図やGISにおける実務的な種々の工夫や計算上の注意などにつなげてほしい。

フリーの統計解析環境「R」を用いても算出できるが、ここでは自作のツール「点・望・山（M243-11Y）」および「PAL8-CNV ～ぱるはちこんぶ～」を用いた。

ここで得た「V1」から「V9」までの各変量間における相関係数行列を以下に示す。当然ながら「V7」「V8」「V9」の3変量は互いに相関係数が高い。次に「V2」と「V6」の相関係数が高い。「V1」とほかの8変量との間では、極端に低い相関係数は出ない。（「V1」「V5」「V8」の間で互いに相関係数が高いと見ることもできる。）「V7」「V8」「V9」の3変量と、ほかの「V1」を除く5変量との間では、「V5」と「V8」、および「V3」と「V7」の相関係数が高い。一方、「V5」と「V7」の間では相関係数が最も低い。

次に、「R」の「rpart」を使って「回帰木」を作成した。

「V2」から「V8」までの変量を使って「V1」を説明する回帰分析の結果を「木」のかたちで示したものだ。最下段で8つに分かれる。これを左から（「V1」が小さい順に）「Type A」「Type B」「Type C」「Type D」「Type E」「Type F」「Type G」「Type H」と便宜的に呼ぶこととし、地形の特徴とした。この8つの中では、「V1」が小さい順のほかに順序はない。

「回帰木」は、（1）すでによくわかっているデータ（※1）を使って作成し、（2）よくわからないデータ（※2）が「木」のどこに分類されるか（すでによくわかっているデータのどれと似ているか）を調べるという使い方をする。
※1 「トレーニングデータ」「正解データ」「教師データ」などと呼ぶ。
※2 「テストデータ」「学習に用いないデータ」などと呼ぶ。

ここ（※自作のツール「点・望・山（M243-11Y）」）では、この（1）すでによくわかっているデータとして、このゲームに搭載された機能である「地形の自動生成」を使用して生成した地形データの中から、人の目で見て選んだ20個の地形データを使用した。

※「回帰木」の最下段の通りに並べた。なお、「回帰木」の最下段の枠の中の数字は、そこに分類されたデータにおける「V1の平均」である。「木」のかたちで表示する都合上、「V1」の大小が入れ替わって並んでいる部分もある。

※「V1」から「V9」までの変量は、この数字の順に思いついたわけではない。なるべくプレーンなものを前のほうに、もはや屁理屈ではというようなものを後ろのほうに並べた。そのようにして「V1」になったものを、被説明変数（目的変数）にすることにしたという順番である。

ここで「V1」という変量だけを単独で見ることを地形の複雑度と呼ぶこととした。「V1」の値を対数的に5つの区間に分け、低いほうから「Poor」「Average」「Good」「Excellent」「Too Complicated」というラベル（値の区間の名前）を与えた。

ゲームとしてのプレイアビリティは、地形の複雑度が「Good」なら問題なく、「Excellent」なら特別に優れ、そのほかは「Good」より劣ると判断してよい。「プレイアビリティが低い（線路や建物の配置の自由度がなさすぎるかありすぎる）」ということは『難易度が高い』（考えることやすることがたくさんある）ということであり、決して「つまらない」とか「取るに足らない」とは限らない。もちろん、マップのよしあしは地形の特徴と一体で考えるべきもの。地形の特徴と地形の複雑度が意味のあるかたちでつりあっていれば楽しい、つりあっていなければ楽しくない、と考えるとよい。

相違ありません。

詳細は以下のページに譲る。

• 三景七景：ハイトマップを特異値分解してからk-means法でクラスタリングし、地形に即した複雑な形状の領域に分割します
• 新札幌バウム：本来の地形にあったであろう微地形を適当に復元し、不均一な領域に分割します

多変量解析のおもしろさを伝える題材として「卵の形は産む数や環境要因、巣の特徴などと関係がない一方で、「ハンド・ウイング指数」が最も高い、つまり最も効率的に飛べる鳥は、卵の非対称性または楕円率が最も高いことがわかった」（2017年6月27日）がおすすめである。理科の単元にとらわれ、いわゆる重回帰分析だけで終わるような展開では物足りない。

Excelと高校の数学だけでできることしかしないという展開には感心しない。「地理探究」などの探究型学習に関連し、応用地質・みずほ情報総研・インキュビット「複数の地形的特徴から土砂災害の危険性がある地域を抽出するAIモデルを開発」（2019年9月2日）といったニュースを漠然と見るのでなく、具体的な計算や特徴量の用意のしかたをイメージさせる必要がある。ここでは人の目で見て人の頭で考えて（やっとのことで）9つの変量を得ているが、これを自動的に無理やり見つけてくれるのが「ディープラーニング」であるという説明のしかたもできる。

いわゆる空間統計学の教科書に則りながらの、工学の現場で通用する実際的な計算法については関知しない。それは工学であって理数探究ではない。プロの道具をおもしろがって勝手にいじるようなことはさせない。プロはそれをものすごく嫌う。

わたしたちは基本的に「R」を使うほかない。例えばExcelVBAやPythonでじぶんでコードを書く（生徒に書かせる）ためには、これ（黒板と紙に手で書ける数式）をぜんぶ自力で書いて説明して他人を納得させることができないといけない。

西陣織で星月夜。このページで「回帰木」という呼び方で紹介しているものは「CART法」という名前で発表されたもので、その考案者はのちに「ランダムフォレスト（Random Forest）」を提案している。特定の分野では「決定木」「決定木分析」と呼んできた（すべて手作業で作成する場合すら含む）が、わたしたちがこれから取り組む「理数探究」としては、数学と統計学の諸概念や用語に照らして一般化した呼び方である（応用には踏み込まない）「回帰木」という名前を使うことが強く望まれる。「CART法」は、与えた多変量データを総当たりで調べ尽くしてくれるアルゴリズムである。影響の大きいものだけを選択的に見ていく「変数選択法」による重回帰分析や手作業の混ざる（昔の、あるいは文系の）「決定木分析」よりも、はるかにエレガントな方法であるといえる。半端な形ではあるが「ランダムフォレスト（Random Forest）」に通じてゆく、機械学習の入り口と捉えさせるようにしたいものである。よりクラスタリングに片足を乗せた実用的な方法として「ID3」「C4.5」の系統があるが、折衷的な方法であるので「理数探究」で取り上げるのは妥当でないと考えられる。幾何学へのいざないとしては「最小全域木（MST）」「アルファシェイプ（α-shape）」「凸包（convex hull）」などにつなげられるだろう。

• esri「Regression analysis basics」：日本語で読む（受講者に読ませる）と油断するので英語で読む（同）とよい（和訳が目的ではないから最初から対訳を示してよい）・これはソフトウェアのマニュアルだから厳密には参考文献にはならない（参考文献リストに挙げてはいけない）あくまで「お勉強」（大学で統計学の単位を取っていれば暗記していてしかるべき内容だが、高校生が先取りしても問題ない＆非専門家は暗記に頼らず何度でも読んでよい）
• Oracle「特異値分解」：日本語とはいえ「特徴抽出用の教師なしアルゴリズムである特異値分解アルゴリズム」と（あまりにも実用本位に）書いてしまうデータベース業界（実業界・産業界）の文脈で書かれたヘルプや記事は、数学や統計学をまずはニュートラルに学ぶべき学生にとって有害である（そのような繊細な違いがあるにもかかわらず教養の科目を実業界や産業界から招へいした客員や非常勤の教員が担当するときに軽視されがち）
• 「動的モード分解による多次元時系列解析」（2018年3月5日）：「主成分分析」の理解をもとに、それを立体化するようなかたちで「動的モード分解」を理解させていく・「主成分分析」は特殊なかたちだから信号処理の教科書に従うほうが説明はすっきりするだろう（数理的な部分だけに着目して呼ぶ「PCA」と社会科学的な文脈を含む「主成分分析」という日本語を1対1で固着させないこと）
• 理化学研究所「大規模データに対する主成分分析の性能を評価」（2020年1月20日）：（主成分分析の実装の文献調査の部分は）理数探究基礎の模範となる姿勢だが内容的にはいまさら（業界では経験的に知られているとされる）
• ArcGIS Pro「タッセルド キャップ変換」：【いわば方言】「特殊な形式の主成分分析」との説明だが、一般にいう「MDS（Multi-dimensional scaling）」を強く思わせる
• ArcGIS Pro「説明変数はモデルの役に立っているか」：【いわば建前】「理論で変数が非常に重要であることが示されている場合や特定の変数が分析の対象である場合は、統計的に有意でない場合でもこれらの変数を残します」との説明で、一般的なGISのユーザーにとって「理論」（何をどう分析するか、じぶんの責任で考えること）そのものは外部からもたらされるもの（じぶんでは取り組まないもの）という前提だが、「理数探究」ではそこをやる

（初版公開：2020年5月29日、改訂：2022年5月11日）

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